2.2 분수 변환 공식 · Ⅰ-2. 순환소수와 유리수

HOOK

매번 $10x - x$를 풀어야 할까?

$10$배 빼기 알고리즘은 강력하지만 시간이 걸립니다. $0.\dot{2}\dot{7}$, $0.\dot{1}5\dot{3}$, $0.12\dot{3}\dot{4}$ 같은 분수들을 빠르게 변환하려면 — 분모와 분자를 한 번에 결정하는 공식이 필요합니다.

다행히 그 공식은 매우 단순합니다 — 비순환부 길이로 $0$의 개수를, 순환마디 길이로 $9$의 개수를 결정. 분자는 빼기 한 번.

"한 번 익히면 모든 순환소수를 즉시 분수로."

THE FORMULA

일반 공식

$0.\underbrace{a_1 a_2 \cdots a_m}_{\text{비순환부}}\underbrace{\dot{b_1} b_2 \cdots \dot{b_n}}_{\text{순환마디}}$ 형태의 순환소수에 대해:

THE GENERAL FORMULA

$\dfrac{(\text{전체 숫자}) - (\text{비순환부 숫자})}{\underbrace{9\cdots9}_{n\text{개}}\underbrace{0\cdots0}_{m\text{개}}}$

분자 = (비순환부 + 순환마디) − 비순환부
분모 = 9가 순환마디 길이만큼, 0이 비순환부 길이만큼

간단 규칙

분모 : 9 × (순환마디 길이) + 0 × (비순환부 길이)

분자 : (전체 소수부) − (비순환부)

가장 자주 보는 두 패턴

패턴 1 — 비순환부 없음 ($m = 0$)

분모는 $9$만 $n$개. 분자는 순환마디 그대로.

$0.\dot{a} = \dfrac{a}{9}$, $\;\;0.\dot{a}\dot{b} = \dfrac{ab}{99}$, $\;\;0.\dot{a}b\dot{c} = \dfrac{abc}{999}$

패턴 2 — 비순환부 있음

분모에 $9$ 뒤 $0$을 비순환부 길이만큼 추가. 분자에서 비순환부를 뺀다.

$0.a\dot{b} = \dfrac{ab - a}{90}$, $\;\;0.ab\dot{c} = \dfrac{abc - ab}{900}$

CASES

공식을 적용해 보자

$0.\dot{4}\dot{5}$

$m=0$, $n=2$
분자 = 45 − 0 = 45
분모 = 99

$= \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$

$0.0\dot{6}$

$m=1$, $n=1$
분자 = 06 − 0 = 6
분모 = 90

$= \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$

$0.\dot{1}5\dot{3}$

$m=0$, $n=3$
분자 = 153 − 0 = 153
분모 = 999

$= \dfrac{153}{999} = \dfrac{17}{111}$

$0.12\dot{3}$

$m=2$, $n=1$
분자 = 123 − 12 = 111
분모 = 900

$= \dfrac{111}{900} = \dfrac{37}{300}$

$1.\dot{2}$

$1 + 0.\dot{2}$
$= 1 + \dfrac{2}{9}$

$= \dfrac{11}{9}$

$0.\dot{0}0\dot{9}$

$m=0$, $n=3$
분자 = 009 = 9
분모 = 999

$= \dfrac{9}{999} = \dfrac{1}{111}$

정수 부분이 있는 경우

$1.\dot{2}$, $3.0\dot{4}$ 같은 경우 — 정수 부분을 따로 두고, 소수 부분만 공식으로 변환한 뒤 합치기.

예: $1.\dot{2} = 1 + 0.\dot{2} = 1 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{11}{9}$.

또는 한 번에: $\dfrac{12 - 1}{9} = \dfrac{11}{9}$ ($10x = 12.\dot{2}$, $x = 1.\dot{2}$, 빼면 $9x = 11$).

INTERACTIVE

공식 실행기

비순환부와 순환마디를 입력하면 공식이 자동으로 적용되어 분수가 나옵니다.

FORMULA APPLIER

정수 부분 (없으면 0)

비순환부 (없으면 비워둠)

순환마디

RESULT

$\dfrac{5}{11}$

m=0, n=2
분자 = 45 − 0 = 45
분모 = 99
= 45/99 = 5/11

QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01

수치 입력

$0.\dot{4}\dot{5}$를 공식으로 분수로 나타내면 $\dfrac{a}{99}$이다. $a$의 값은?

Q-02

수치 입력

$0.0\dot{6}$을 공식으로 변환하면 $\dfrac{a}{90}$이다. $a$의 값은?

Q-03

선택형

$0.\dot{1}5\dot{3}$의 분모(공식 적용 시)는?

Q-04

선택형

$0.12\dot{3}$을 공식으로 나타내면 분모는?

Q-05

수치 입력

$1.\dot{2}$를 분수 $\dfrac{a}{9}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01

$0.7\dot{8}\dot{1}$을 공식으로 기약분수로 나타내시오.

비순환부 "7" ($m=1$), 순환마디 "81" ($n=2$).

분모 = 9가 2개, 0이 1개 → $990$.

분자 = $781 - 7 = 774$.

$\dfrac{774}{990}$를 약분: $\gcd(774, 990) = 18$. $\dfrac{774 \div 18}{990 \div 18} = \dfrac{43}{55}$.

▶ $\dfrac{43}{55}$

EXAMPLE 02

$2.0\dot{3}$을 기약분수로 나타내시오.

정수 부분 분리: $2.0\dot{3} = 2 + 0.0\dot{3}$.

$0.0\dot{3}$: $m=1$, $n=1$. 분자 = $03 - 0 = 3$, 분모 = $90$. $\dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}$.

$2 + \dfrac{1}{30} = \dfrac{60}{30} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{61}{30}$.

▶ $\dfrac{61}{30}$

PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★

수치 입력

$0.\dot{7}$을 분수 $\dfrac{a}{9}$로 나타낼 때 $a$는?

P-02 ★

수치 입력

$0.\dot{1}\dot{8}$을 분수 $\dfrac{a}{99}$로 나타낼 때 $a$는?

P-03 ★

수치 입력

$0.\dot{3}5\dot{7}$의 분모(공식 분모, 약분 전)는?

P-04 ★★

수치 입력

$0.2\dot{1}\dot{4}$의 공식 적용 시 분자는? (약분 전, 전체-비순환부)

P-05 ★★

수치 입력

$0.5\dot{4}$를 기약분수 $\dfrac{a}{90}$으로 나타낼 때 $a$의 값은? (약분 전 $a$)

P-06 ★★

수치 입력

$0.\dot{2}\dot{4}$ $= \dfrac{a}{33}$일 때 $a$는? (기약분수의 분자)

P-07 ★★★

수치 입력

$3.\dot{1}\dot{5}$를 기약분수 $\dfrac{a}{33}$로 나타낼 때 $a$의 값은? (정수 부분 포함)

P-08 ★★★

수치 입력

$0.\dot{0}0\dot{1}$ $= \dfrac{a}{999}$일 때 $a$는? (분자, 약분 전)

WRAP-UP

2.2 분수 변환 공식 — 핵심 정리

$10x-x$ 알고리즘을 일반화한 한 줄 공식. 분모는 $9$와 $0$의 조합, 분자는 빼기 한 번.

POINT 1

분모: 9가 (순환마디 길이) + 0이 (비순환부 길이)

POINT 2

분자: (전체 소수부) − (비순환부)

POINT 3

비순환부 없으면 분모는 9만, 분자는 순환마디

POINT 4

정수 부분 있는 경우: 분리해서 처리하거나 한 번에 처리